TRANS-QUÃNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• x
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

Em teoria da probabilidade e em estatística, uma distribuição de probabilidade descreve o comportamento aleatório de um fenômeno dependente do acaso. O estudo dos fenômenos aleatórios começou com o estudo dos jogos de azar – jogos de dados, sorteios de bolas de urna e cara ou coroa eram motivações para compreender e prever os experimentos aleatórios. Essas abordagens iniciais são fenômenos discretos, o que significa que o número de resultados possíveis é finito ou contável. Entretanto, certas questões revelam distribuições de probabilidade com suporte infinito não contável. Por exemplo, quando o lançamento de uma moeda tende ao infinito, o número de coroas aproxima-se de uma distribuição normal.

Flutuações e variabilidade estão presentes em quase todo valor que pode ser medido durante a observação de um fenômeno, independente de sua natureza, além disso quase todas as medidas possuem uma parte de erro intrínseco. A distribuição de probabilidade pode modelar incertezas e descrever fenômenos físicos, biológicos, econômicos, entre outros. O domínio da estatística permite o encontro das distribuições de probabilidade adaptadas aos fenômenos aleatórios.

Há muitas distribuições de probabilidade diferentes. Entre as distribuições de probabilidade, a distribuição normal tem uma importância particular. De acordo com o teorema central do limite, a distribuição normal aborda o comportamento assintótico de várias distribuições de probabilidade.

O conceito de distribuição de probabilidade é formalizado matematicamente pela teoria da medida – uma distribuição de probabilidade é uma medida muitas vezes vista como uma distribuição que descreve o comportamento de uma variável aleatória discreta ou contínua. Uma medida é uma distribuição de probabilidade se sua massa total for 1. O estudo de uma variável aleatória de acordo com uma distribuição de probabilidade discreta revela o cálculo de somas e de séries, enquanto que o estudo de uma variável aleatória de acordo com uma distribuição de probabilidade absolutamente contínua revela o cálculo de integrais. As funções particulares permitem caracterizar as distribuições de probabilidade como a função de distribuição e a função característica.

Definição informal[editar | editar código-fonte]

Teoricamente uma descrição de probabilidade descreve a característica aleatória de uma experiência aleatória.^[1][2] O conceito de experiência aleatória surgiu para descrever um processo real de natureza experimental, em que o acaso intervém com resultados possíveis bem identificados.^[3] Por exemplo, em um lançamento de um dado não viciado (um evento aleatório) os resultados podem ser um número entre 1 e 6 com igual probabilidade (de acordo com a distribuição de probabilidade, há a mesma chance de sairem os seis resultados com probabilidade igual a um sexto).

Historicamente distribuições de probabilidade foram estudadas em jogos de azar, jogos de dados, jogos de cartas, entre outros. Se os possíveis resultados dos fenômenos forem números contáveis, a distribuição de probabilidade é chamada discreta. Dar a distribuição de probabilidade significa dar a lista de valores possíveis com suas probabilidades associadas.^[1] Ela é dada por meio de uma fórmula, uma tabela de valores, uma árvore de probabilidade ou funções que serão detalhadas nas seções seguintes.

Em um contexto mais amplo, se os números dos resultados possíveis de um fenômeno aleatório forem finitos (contáveis ou incontáveis) em vez de infinitos, a distribuição de probabilidade descreve a distribuição de probabilidade dos resultados possíveis, mas caracterizados como funções (funções densidade, funções distribuição, entre outros) ou como medidas.^[1]

Histórico[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: História da teoria das probabilidades

Ilustração de uma pirâmide formada por feixes convergentes que superam uma curva de Gauss. Ela representa a placa de Galton, concebida em 1889, usada para visualizar a curva de Gauss como distribuição limite.

O uso do acaso existe desde os tempos antigos, especialmente em jogos de azar, em apostas de riscos de transportes marítimos ou em rendas vitalícias.^[3] Entretanto, uma das primeiras referências conhecidas para os cálculos de probabilidade é um cálculo elementar sobre a Divina Comédia que aparece apenas no século XV durante o Renascimento.^[4] Os primeiros tratados formam o início da teoria da probabilidade, principalmente com base em probabilidades combinatórias. Os problemas surgem à respeito da duração de um jogo de cartas:

“	Sobre a duração das partidas em que, começando com um mesmo número de fichas, os jogadores as concedem aos poucos ao oponentes que os vencem em uma partida. Pergunta-se em quantas mãos determinadas a mais acabará a partida que pode durar até o infinito. [5]	”
—Pierre Rémond de Montmort, em seu livro Essay d'analyse sur les jeux de hazard.

Reconhece-se a probabilidade (a aposta) de uma variável (a duração de um jogo) ser menor que um valor (um certo número determinado), que representa a função de distribuição da distribuição de probabilidade de um jogo.

Essa é a tese de Nicolau Bernoulli, publicada em 1711, em que aparece pela primeira vez a distribuição uniforme.^[6] Então, outras distribuições apareceram como a distribuição binomial e a distribuição normal, embora suas abordagens não sejam completamente rigorosas^[6]— por exemplo, a distribuição normal foi desenvolvida por Abraham de Moivre com uma curva de Gauss por uma aproximação numérica.^[7] No século XVIII, outras ideias de distribuições de probabilidade emergiram^[6] com a expectativa de uma variável aleatória discreta com Jean le Rond D'Alembert ou de probabilidades condicionais com Thomas Bayes. Algumas distribuições de probabilidade contínuas estão contidas em uma memória de Joseph—Louis Lagrange, de 1770.^[6]

O uso rigoroso das distribuições de probabilidade começou a partir do século XIX nas ciências aplicadas como na biometria com Karl Pearson^[8] ou na física estatística com Ludwing Boltzmann.^[9]

A definição formal das medidas de probabilidade surgiu em 1896 com uma publicação de Émile Borel,^[10] continuando com outros matemáticos como Henri—Léon Lebesgue, Maurice René Fréchet, Paul Lévy e principalmente Andrei Kolmogorov que formulou os axiomas de probabilidade em 1933.

Definição matemática[editar | editar código-fonte]

Em teoria da probabilidade, uma distribuição de probabilidade é uma medida com massa total igual a 1. Essa medida satisfaz os três axiomas de probabilidade.

Definição^[2] — Para um espaço mensurável ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$, ${\displaystyle \mathbb {P} }$ é uma distribuição de probabilidade, medida de probabilidade ou simplesmente probabilidade se:

1. ${\displaystyle \mathbb {P} }$ é uma aplicação de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ em [0,1];
2. ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$;
3. ${\displaystyle \mathbb {P} }$ é ${\displaystyle \sigma }$–aditiva. Isto é, para qualquer família finita ou contável de elementos disjuntos ${\displaystyle (A_{i},i\in I)}$ de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\sum _{i\in I}\mathbb {P} (A_{i}).}$ 
4. X

5. FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

   Uma consequência imediata é: ${\displaystyle \mathbb {P} (\emptyset )=0}$.

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ é chamado de espaço de probabilidade.^[11] Usualmente a palavra distribuição é usada quando tratamos de uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória ${\displaystyle X}$ definida em um espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$.

Definição^[12] — Seja uma variável aleatória real no espaço de probabilidade${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$. Isto é, uma função mensurável ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {A}})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$. A distribuição de probabilidade da variável aleatória ${\displaystyle X}$ é a medida de probabilidade ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ definida sobre o espaço mensurável ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ por ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\mathbb {P} {\big (}X^{-1}(B){\big )}=\mathbb {P} (X\in B),}$para qualquer álgebra de Borel real ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$. Em outras palavras, ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ é a medida de imagem de ${\displaystyle \mathbb {P} }$ para ${\displaystyle X}$.

Então, para definir a distribuição de uma variável aleatória, transpõe-se a distribuição de probabilidade ${\displaystyle \mathbb {P} }$ de ${\displaystyle \Omega }$ em uma medida ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

A representação de uma distribuição por uma variável aleatória não é única.^[13] Em outras palavras, duas variáveis aleatórias diferentes ou duas variáveis aleatórias definidas em espaços diferentes podem ter a mesma distribuição. Duas variáveis aleatórias reais ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ têm a mesma distribuição ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=\mathbb {P} _{Y}\ }$(em termos de igualdade de medidas). Isto é, ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\mathbb {P} _{Y}(B)}$ para todo ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$. O seguinte teorema permite uma caracterização adicional.

Teorema de transferência^[14] ou de transporte^[15] — Seja uma variável aleatória real ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$. Logo,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]{\stackrel {\text{déf.}}{=}}\int _{\Omega }\varphi {\big (}X(\omega ){\big )}\mathbb {P} (\mathrm {d} \omega )=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)\mathbb {P} _{X}(\mathrm {d} x),}$

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

para toda função ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, de tal modo que pelo menos uma das duas integrais existe.^[16] A última integral, do ponto de vista da teoria da medida, é uma integral da função ${\displaystyle \varphi }$ em relação à medida ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$. Essa integral tem forma de soma, no caso das distribuições discretas. Então, duas variáveis aleatórias reais ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ têm a mesma distribuição se ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]=\mathbb {E} \left[\varphi (Y)\right]}$ para qualquer função ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, tal que existe pelo menos um dos dois termos da igualdade.

Distribuição multidimensional[editar | editar código-fonte]

Distribuição normal bidimensional ou produto de duas distribuições normais unidimensionais.

Uma distribuição de probabilidade é chamada de multidimensional ou ${\displaystyle n}$-dimensional^[17] quando descreve vários valores (aleatórios) de um fenômeno aleatório, por exemplo, no lançamento de dois dados a distribuição de probabilidade dos dois resultados é uma distribuição bidimensional. Então, a característica multidimensional aparece por meio da transferência por uma variável aleatória de um espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ para um espaço numérico ${\displaystyle E^{n}}$, de dimensão ${\displaystyle n}$, por exemplo, no lançamento de dois dados a dimensão é ${\displaystyle n=2}$ e o espaço ${\displaystyle E^{2}}$ é ${\displaystyle \{1,\dots ,6\}\times \{1,\dots ,6\}}$. A distribuição multidimensional também é chamada de distribuição conjunta.^[18]

Um exemplo importante da distribuição multidimensional é a probabilidade produto ${\displaystyle \mathbb {P} =\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2}}$, em que ${\displaystyle \mathbb {P} _{1}}$ e ${\displaystyle \mathbb {P} _{2}}$ são duas distribuições unidimensionais. Essa distribuição de probabilidade é uma distribuição de um par de variáveis aleatórias independentes.^[19]Esse é o caso do exemplo do lançamento de dois dados.

Definição — Seja uma variável aleatória ${\displaystyle X}$ no espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$, com valores em ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ equipada com produtos de algebras de Borel ${\displaystyle {{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}^{\otimes n}}$. A distribuição da variável aleatória${\displaystyle \ X\ }$é a medida de probabilidade ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ definida para todo ${\displaystyle B\in {{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}^{\otimes n}}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\mathbb {P} {\big (}X^{-1}(B){\big )}=\mathbb {P} (X\in B).}$

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

A variável aleatória ${\displaystyle X}$ é identificada^[20] a um vetor aleatório de dimensões ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$. O teorema de Cramer-Wold^[21] estabelece que a distribuição (${\displaystyle n}$-dimensional) do vetor aleatório é completamente determinado pelas distribuições (unidimensionais) de todas as combinações lineares dos componentes: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$ para todo ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$.

Distribuição absolutamente contínua[editar | editar código-fonte]

Ilustração de três esquemas em branco e preto, com uma nuvem de pontos em forma de triângulo à esquerda e duas curvas à direita. Elas representam duas coordenadas (dimensão 1 e dimensão 2) de dois pontos que se aproximam cada uma com uma distribuição normal. Isto é, uma simulação de distribuição bidimensional em que as duas distribuições marginais são normais.

Uma distribuição bidimensional ou ${\displaystyle n}$-dimensional é chamada de absolutamente contínua^[22] em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ quando a distribuição é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Isto é, se a distribuição da variável aleatória correspondente é descrita como

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in B)=\iint _{B}f_{X}(x_{1},x_{2})\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}}$ ,

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

para todo ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{2}).}$

Distribuição marginal[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Distribuição marginal

Uma distribuição marginal de um vetor aleatório é a distribuição dos seus componentes. Para obter-la, projeta-se a distribuição em um espaço unidimensional de uma coordenada desejada. A distribuição de probabilidade da ${\displaystyle i}$-ésima coordenada de um vetor aleatório é chamada de ${\displaystyle i}$-ésima distribuição marginal ${\displaystyle \mathbb {P} _{i}}$.^[23] A distribuição marginal ${\displaystyle \mathbb {P} _{i}}$ de ${\displaystyle \mathbb {P} }$ é obtida pela fórmula

${\displaystyle \mathbb {P} _{i}(A)=\mathbb {P} _{X_{i}}(A)=\iint {1}_{\omega _{i}\in A}\mathbb {P} (\mathrm {d} (\omega _{1},\dots ,\omega _{n}))}$ ,

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

para todo ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$.

As distribuições marginais de uma distribuição absolutamente contínua são expressas com suas densidades marginais.^[23]

Distribuição condicional[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Probabilidade condicionada

Ilustração de uma árvore binária de dois andares orientada da esquerda para a direita. Ela representa a aplicação de uma distribuição condicional, em que + significa que o indivíduo é positivo para o teste de drogas e U significa que o indivíduo é usuário de drogas ${\displaystyle \mathbb {P} (+|U)}$ é a probabilidade de o teste ser positivo para um indivíduo usuário de drogas.

Uma distribuição de probabilidade condicional permite descrever o comportamento de um fenômeno aleatório quando a informação sobre o processo é conhecida. Em outras palavras, a probabilidade condicional permite avaliar o grau de dependência estocástica entre dois eventos,^[24] por exemplo, no lançamento de dois dados a distribuição condicional pode dar a soma dos resultados sabendo que o resultado do lançamento de um dos dois dados foi pelo menos quatro.

Definição para eventos[editar | editar código-fonte]

A probabilidade condicional é definida^[25] em eventos pela probabilidade ${\displaystyle \mathbb {P} (\cdot |B)}$: a probabilidade de um evento A qualquer condicionado a um evento B. Para quaisquer ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ da σ-álgebra subjacente tal que ${\displaystyle \mathbb {P} (B)\neq 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A|B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}.}$.

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

Em probabilidade e em estatística, a distribuição de probabilidade^[26] ${\displaystyle \mathbb {P} (\cdot |B)}$ comumente usada em distribuição da probabilidade total ou no teorema de Bayes.

Definição para variáveis aleatórias[editar | editar código-fonte]

A probabilidade condicional também é definida para as variáveis aleatórias. Seja uma variável X condicional a uma variável Y. Quando ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y)\neq 0}$, a distribuição de ${\displaystyle X}$ dado ${\displaystyle Y=y}$ é definida por^[26]

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A|Y=y)={\frac {\mathbb {P} (X\in A,Y=y)}{\mathbb {P} (Y=y)}}.}$.

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

A definição acima não é válida se a distribuição de Y for absolutamente contínua dado que ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y)=0}$ para todo ${\displaystyle y}$. A definição seguinte é válida para quaisquer das duas variáveis aleatórias.

Definição^[27] — Seja ${\displaystyle (X,Y)}$ um par de variáveis aleatórias reais. Há uma distribuição de probabilidade ${\displaystyle \mathbb {P} _{X|Y}}$, chamada de distribuição condicional de ${\displaystyle X}$ dado ${\displaystyle Y}$ ou dado ${\displaystyle Y=y}$ definida pela e para qualquer função limitada boreliana ${\displaystyle \varphi }$: ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi (X)|Y\right]=\int \varphi (x)\mathbb {P} _{X|Y}(\mathrm {d} x)}$ quase certamente.

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

A distribuição também é denotada como ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X|Y)}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X|Y=y)}$. A igualdade anterior é uma igualdade entre variáveis aleatórias.^[28]

Em probabilidade e estatística, a distribuição normal é uma das distribuições de probabilidade mais utilizadas para modelar fenômenos naturais. Isso se deve ao fato de que um grande número de fenômenos naturais apresenta sua distribuição de probabilidade tão proximamente normal, que a ela pode ser com sucesso referida, e, portanto, com adequado acerto por ela representada como se normal fosse^[1]. A distribuição normal é ligada a vários conceitos matemáticos como movimento browniano,^[2] ruído branco,^[3] entre outros. A distribuição normal também é chamada distribuição gaussiana, distribuição de Gauss ou distribuição de Laplace–Gauss, em referência aos matemáticos, físicos e astrônomos francês Pierre–Simon Laplace (1749 – 1827) e alemão Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855).^[4]

Os diagramas em barras representam as distribuições discretas da soma de 1, 2, 3, 4 ou 5 dados. A curva preta representa a densidade da distribuição normal como o limite dos gráficos de barras.

Em termos mais formais, a distribuição normal é uma distribuição de probabilidade absolutamente contínua parametrizada pela sua esperança matemática (número real ${\displaystyle \mu }$) e desvio padrão (número real positivo ${\displaystyle \sigma }$). A densidade de probabilidade da distribuição normal é denotada como

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$.

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

A distribuição normal com média nula e desvio padrão unitário é chamada de distribuição normal centrada e reduzida ou de distribuição normal padrão. Quando uma variável aleatória ${\displaystyle X}$ segue uma distribuição normal, ela é chamada de gaussiana ou de normal. Comumente é usada a notação com a variância ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ quando ${\displaystyle X\sim {N}(\mu ,\sigma ^{2}).}$ A curva de densidade é chamada de curva de Gauss ou de curva em forma de sino.^[5]

O papel central da distribuição normal decorre do fato de ser o limite de um grande número de distribuições de probabilidade como mostra o teorema central do limite, o qual permite estudar probabilisticamente a média das variáveis independentes de uma amostra aleatória simples de tamanho grande ${\displaystyle n}$.^[6] A distribuição normal corresponde ao comportamento do efeito agregado de experiências aleatórias independentes e semelhantes em certas circunstâncias quando o número de experiências é muito alto.^[7] Com esta propriedade, a distribuição normal pode aproximar–se da distribuição de efeito agregado de outras distribuições e modelar vários estudos científicos como erros de medição ou testes estatísticos com as tabelas de distribuição normal.^[8]

Histórico[editar | editar código-fonte]

Obra sobre o teorema central do limite publicada em 1840.

Uma das primeiras aparições da distribuição normal ocorreu em 1733 com Abraham de Moivre com o aprofundamento do estudo de fatorial ${\displaystyle n!}$ quando considerado um jogo de cara ou coroa.^[9] Em 1756, ele publicou A Doutrina das Chances, em que a distribuição normal aparece como o limite de uma distribuição binomial, o que originaria o teorema central do limite.^[10]

Em 1777, Pierre-Simon Laplace retomou o trabalho e obteve uma boa aproximação do erro entre a distribuição normal e a distribuição binomial em razão da função gama de Euler.^[9] Em seu livro publicado em 1781, Laplace publica uma primeira tabela da distribuição normal. Em 1809, Carl Friedrich Gauss assimila os erros da observação na astronomia à curva, erros da densidade da distribuição normal.^[10]

A distribuição normal é totalmente definida quando o primeiro teorema central do limite (chamado então teorema de Laplace) é elaborado por Laplace em 1821.^[10] O nome normal é dado por Henri Poincaré no fim do século XIX.^[11] A distribuição normal também pode ser chamada de distribuição de Gauss ou distribuição de Laplace–Gauss,^[12] de acordo com sua autoria. A denominação segunda distribuição de Laplace também é usada ocasionalmente.^[13][14]

A distribuição normal é estudada frequentemente. Por exemplo, novas tabelas digitais foram publicadas por Egon Sharpe Pearson em 1948, pelo National Bureau of Standards em 1952 e por Greenwood e Hartley em 1958.^[15][16]

Distribuição normal padrão[editar | editar código-fonte]

Existe uma infinidade de distribuições normais, cada uma com sua própria média e desvio padrão. A distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1 é chamada de distribuição normal padrão.^[17] Ela é uma distribuição de probabilidade (uma medida ${\displaystyle N}$, de massa total unitária) unidimensional (com suporte real ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$).^[18] É uma distribuição absolutamente contínua (a medida é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue).

Em outras palavras, existe uma densidade de probabilidade muitas vezes denotada como ${\displaystyle \varphi }$ para a distribuição normal padrão tal que: ${\displaystyle N(dx)=\varphi (x)dx}$. É generalizada para a distribuição normal multivariada. A distribuição normal padrão também pode ser chamada de distribuição normal centrada e reduzida.^[19] A escala horizontal do gráfico da distribuição normal padrão corresponde ao escore-z que é uma medida de posição que indica o número de desvios padrão em que um valor se encontra a partir da média. Podemos transformar um valor ${\displaystyle x}$ em escore-z usando a fórmula:

^[20]

${\displaystyle z={x-\mu \over \sigma }}$ Arredondar para o centésimo mais próximo

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

Quando um valor de uma variável aleatória ${\displaystyle x}$ distribuída normalmente é transformado em um escore-z, a distribuição de ${\displaystyle z}$ será uma distribuição normal padrão. Após essa transformação, a área que recai no intervalo ${\textstyle (x_{1};x_{2})}$ sob a curva normal padrão é a mesma que aquela sob a curva normal padrão no correspondente intervalo ${\textstyle (z_{1};z_{2})}$.^[21]

Propriedades da distribuição normal padrão[editar | editar código-fonte]

1. A área acumulada é próxima de 0 para escores-z próximos a z=-3,49.
2. A área acumulada aumenta conforme os escores-z aumentam.
3. A área acumulada para z=0 é 0,5000.
4. A área acumulada é próxima a 1 para escores-z próximos a z=3,49.

Definição pela função densidade[editar | editar código-fonte]

Função densidade da distribuição normal padrão (curva de Gauss ou curva em forma de sino).

A densidade da distribuição normal padrão é dada pela função ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$definida por ${\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\;\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}$, 

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.^[22] Esta 

distribuição é chamada centrada porque o valor do seu momento de ordem 1 (esperança) é 0 e reduzida porque o valor do seu momento de ordem 2 (variância) é 1, assim como o seu desvio padrão. O gráfico da densidade ${\displaystyle \varphi }$ é chamado função gaussiana, curva de Gauss ou curva em forma de

sino. A distribuição normal é denotada pela letra ${\displaystyle N}$. Uma variável aleatória ${\displaystyle X}$ que segue uma distribuição normal padrão é denotada como ${\displaystyle X\sim N(0,1)}$.^[23]

Seguem algumas propriedades sobre a função densidade:

• O cálculo da integral de Gauss permite demonstrar que a função ${\displaystyle \varphi }$ é uma densidade de probabilidade pela fórmula ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {exp} (-{\frac {1}{2}}t^{2})\mathrm {d} t={\sqrt {2\,\pi }}}$.
• X

• FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

• É contínua, uniformemente limitada e par.^[24]
• O máximo da função ${\displaystyle \varphi }$ é atingido na média 0 e de valor ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$.^[24]
• Verifica ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\varphi (x)=\lim _{x\rightarrow -\infty }\varphi (x)=0}$.^[25]
• X

• FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

• A densidade ${\displaystyle \varphi }$ é infinitamente derivável. Uma indução matemática permite obter a fórmula para a ${\displaystyle n}$-ésima derivada de ${\displaystyle \varphi }$: ${\displaystyle \varphi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}H_{n}(x)\varphi (x)}$, em que ${\displaystyle H_{n}}$ é o ${\displaystyle n}$–ésimo polinômio de Hermite.^[26]
• A densidade possui dois pontos de inflexão, em 1 e em –1. Estes são os pontos em que a segunda derivada ${\displaystyle \varphi ''}$ se anula e muda de sinal. Os dois pontos são aproximadamente três quintos da altura total.^[18]

Definição pela função distribuição[editar | editar código-fonte]

Função distribuição da distribuição normal padrão.

Historicamente a distribuição normal aparece como a distribuição limite no teorema central do limite, usando a função de distribuição cumulativa. A distribuição normal é a distribuição de probabilidade, em que a função de distribuição é dada por ${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$, definida por

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t}$, para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. 

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

Ela fornece a probabilidade de uma variável aleatória de distribuição normal pertencer a

um intervalo fechado ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle \mathbb {P} (X\in [a,b])=\Phi (b)-\Phi (a)}$.^[27]

X

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

Seguem algumas propriedades sobre a função de distribuição:

• Não existe uma expressão analítica para a função de distribuição ${\displaystyle \Phi }$. Isto é, não é expressa a partir de funções usuais, mas torna–se uma função usual. Para obter os valores de probabilidade ${\displaystyle \Phi (x)=\mathbb {P} (X\leq x)}$ é preciso aproximar esta função de outras funções usuais gerando a tabela de valores.^[28]
• Pode ser expressa em função da função erro por meio das seguintes fórmulas equivalentes ${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$ e ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1}$.^[29]
• X

• FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI

• É infinitamente derivável e verifica ${\displaystyle \Phi '(x)=\varphi (x)}$. A fórmula equivalente ${\displaystyle \mathrm {d} \Phi (x)=\varphi (x)\mathrm {d} x}$ permite definir a integral de Lebesgue–Stieltjes com relação à distribuição normal.^[30]
• É absolutamente contínua e estritamente crescente, sendo uma bijeção de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ no intervalo aberto ${\displaystyle ]0,1[}$.^[31] O recíproco ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ é chamado de função inversa da função distribuição acumulada da distribuição normal. Por exemplo, esta função é utilizada pelo modelo probit.^[32]
• Pela paridade da distribuição, ${\displaystyle \Phi (-x)=1-\Phi (x)}$. Portanto, ${\displaystyle \Phi (0)={\frac {1}{2}}}$. Isso mostra que a mediana da distribuição normal padrão é 0.^[31]